Sayı, matematikte nicelikleri ifade etmek için kullanılan sembollerdir. Sayılar, sayma, ölçme, sıralama, karşılaştırma gibi işlemleri yapmamızı sağlar. Sayılar, farklı türlerde olabilir. Örneğin, doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar gibi.
Sayıların tarihi, insanlık tarihi kadar eskidir. İnsanlar, hayatta kalmak için saymaya ihtiyaç duymuşlardır. Örneğin, avlanan hayvanların, toplanan yiyeceklerin, sahip olunan malların sayısını bilmek önemliydi. İlk sayı sistemleri, parmaklar, taşlar, çubuklar, düğümler gibi basit araçlarla oluşturulmuştur. Daha sonra, sayıları temsil etmek için çeşitli semboller geliştirilmiştir. Örneğin, Sümerler, Mısırlılar, Babilliler, Yunanlar, Romalılar, Hintliler, Çinliler, Mayalar gibi farklı uygarlıklar, kendi sayı sistemlerini kullanmışlardır. Bu sayı sistemleri, bazen onluk, bazen altmışlık, bazen yirmilik gibi farklı tabanlara dayanıyordu. Ayrıca, sıfır gibi önemli bir kavram, bazı sayı sistemlerinde yoktu veya sonradan eklenmişti.
Sayıların gelişimi, matematiğin gelişimiyle paralel olarak devam etmiştir. Matematikte, sayıların özelliklerini inceleyen ve yeni sayı türlerini tanımlayan birçok dal vardır. Bunlardan bazıları, sayı teorisi, cebir, analiz, geometri, mantık, kriptoloji gibi. Bu dallarda, sayılarla ilgili birçok ilginç ve zorlu sorun ortaya çıkmıştır. Bu sorunların bazıları, yüzyıllar boyunca çözülememiş veya henüz çözülememiştir. Bu sorunlardan bazılarına örnek olarak, Fermat’nın son teoremi, Goldbach hipotezi, Riemann hipotezi, Collatz sorunu, asal sayıların dağılımı, mükemmel sayılar, Pisagor üçlüleri, transandantal sayılar, karmaşık sayılar, sonsuzluk gibi konular verilebilir.
Bu makalede, sayılarla ilgili iki önemli konuyu, mükemmel sayılar ve asal sayılar, kısaca anlatacağız.
Mükemmel Sayılar
Mükemmel sayı, pozitif tam sayıların pozitif bölenleri toplamı, sayının kendisinin iki katına eşit olan sayıdır. Örneğin, 6 sayısının pozitif bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır. Bu bölenlerin toplamı, 1+2+3+6=12, sayının iki katı olan 12’ye eşittir. Bu yüzden 6, ilk mükemmel sayıdır. Aynı şekilde, 28, 496 ve 8128 de mükemmel sayılardır. Bu sayıların mükemmel sayı olduğunu, bölenlerini toplayarak kendiniz de görebilirsiniz.
Mükemmel sayıların tarihi, MÖ 500’e kadar uzanıyor. Pisagor, o dönemde mükemmel sayıların farkındaydı ancak bu sayıları üretmek için gereken formül, MÖ 300’lü yıllarda Öklid tarafından geliştirildi. Formülün ispatı ise bundan tam 2000 yıl sonra Euler tarafından gerçekleştirildi. Euler, teoremdeki formülün tüm mükemmel çift sayıları üreteceğini ispatladı. İspat, günümüzde Öklid-Euler teoremi olarak biliniyor.
Öklid-Euler teoremine göre, eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise, 2^(p-1) x (2^p-1) sayısı mükemmel çift bir sayı verir. Burada p, pozitif bir tam sayıdır. Örneğin, p=2 için, 2^2-1=3 asal bir sayıdır. Bu durumda, 2^(2-1) x (2^2-1) = 6 mükemmel bir sayıdır. Aynı şekilde, p=5 için, 2^5-1=31 asal bir sayıdır. Bu durumda, 2^(5-1) x (2^5-1) = 496 mükemmel bir sayıdır.
Mükemmel sayılar kümesinin sonlu olup olmadığı veya tek sayı içerip içermediği henüz bilinmiyor. Fakat, şu ana kadar bilinen 51 mükemmel sayının hepsi çift sayıdır ve son rakamları 6 veya 8’dir.
Asal Sayılar
Asal sayı, kendisinden ve 1’den başka pozitif böleni olmayan 2 ve 2’den büyük sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … şeklinde devam eden sayılar, asal sayılardır. Asal sayılar, matematiğin en temel ve en gizemli unsurlarından biridir. Çünkü, asal sayılar, diğer sayıları oluşturmak için kullanılan yapı taşlarıdır. Herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bu, temel aritmetik teoremi olarak bilinir. Örneğin, 12 sayısı, 2 x 2 x 3 şeklinde asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bu çarpım, 12 sayısı için tek ve eşsizdir. Yani, 12 sayısını oluşturan başka bir asal sayı çarpımı yoktur.
Asal sayılar, sayı teorisinde, kriptolojide, bilgisayar biliminde, fizikte, kimyada, biyolojide ve daha birçok alanda önemli rol oynar. Asal sayılarla ilgili birçok açık soru vardır. Bunlardan en ünlüsü, Goldbach hipotezidir. Bu hipoteze göre, her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Örneğin, 10 sayısı, 3+7 veya 5+5 şeklinde iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Bu hipotez, 1742 yılında Christian Goldbach tarafından öne sürülmüştür. Ancak, henüz ispatlanmamış veya çürütülmemiştir.
Asal sayıların dağılımı, yani asal sayıların arasındaki boşluklar, değişken ve düzensizdir. Asal sayıların sonsuz olduğu, Öklid tarafından ispatlanmıştır. Ancak, asal sayıların ne kadar sık veya seyrek olduğu, henüz tam olarak bilinmiyor. Asal sayıların dağılımını tahmin etmek için, asal sayı teoremi, Riemann zeta fonksiyonu, Dirichlet L-fonksiyonu gibi matematiksel araçlar kullanılır.
